【到底什麼是班佛定律】網傳:拜登得票數不符合「班佛定律」所以是作票? | TechOrange


【為什麼我們挑選這篇文章】美國大選結果大致已經塵埃落定,但今年大選狀況是前所未有的多變,無論你能否接受這次的選舉結果,認為是否有作票,或是川普是否有機會翻盤。我們想讓你知道所謂「班佛定律」,為什麼可以作為票選結果作票與否的證明方式。(責任編輯:郭俐伶)

作者:高智敏

美國總統大選結果的相關前情提要

美國總統大選結果剛出爐,即使拜登入主白宮大勢已定,川粉對於開票結果仍感到不滿,認為民主黨利用作票偷走了總統寶座。許多網上瘋傳的各種作票指證,已有不少事實查核網站 說明 ,在此不贅述。

唯獨其中一個指證,至今仍無人可反駁——拜登的得票數不符合「班佛定律」(備註:從實際生活得出的數據中,以 1 為首位數字的出現機率約為三成,之後以 2、3、4…… 等為首的數,數字越大出現的機率就越低,被用在檢查數據是否造假)的分佈,代表存在人為操縱的可能性 。

難以反駁原因很多。這個定理早有數學家跟公式證明背書,不是阿貓阿狗胡謅出來的;所使用的得票數據並非杜撰、而是官方認證版本,事實查核網站無法否認其真實性;最後,從圖表上看來,拜登得票的數字也確實比川普背離「班佛定律」。有官方數字、有精美圖表、有數學定理、再加上專家背書,頗有「不服來辯」的氣勢!

所以,這位已仙逝 70 多年的班佛先生,會是川普唯一的救星嗎?

到底什麼是「班佛定律」?

在《假帳殺手一號》一文中,我用台灣鄉鎮的人口數說明複雜的「班佛定律」——在自然發生、不受限制的觀察值中,首位數字是 1 的出現機率最高,約佔全體觀察值 30.1%,再來是 2 的 17.6%,其餘依序遞減。

由於台灣人民可自由遷徙到全台 368 個鄉鎮,每個鄉鎮的人口數字屬於自然發生、不受限制的觀察值,因此這 368 個人口數的 首位數 ,理論上來說會符合「班佛定律」,也就是人口數為 1 開頭(1000 多人到 10 萬多人都算唷)的鄉鎮數,約為 110 個左右(368 個鄉鎮的 30%)。

而實際上有多少呢?106 個,與理論值十分接近。這代表政府公布的人口統計數據,並沒有造假。(是說造假要幹嘛…)

川粉怎麼說?

Github 上熱心網友放了幾個城市的開票數,以及「班佛定律」分析的結果。下圖是喬治亞州富爾頓縣(Fulton County)共 384 個投票所的票數分析,以中間的拜登為例,共有 381 個投票所(N)開出他的票,得票數為 1 開頭(X 軸)的投票所有 150 個(Y 軸、藍色長條)。不過,按照「班佛定律」,應該只能有 114 個左右(Y 軸,紅色圓點)。

再看其它藍色長條與紅色圓點的距離,是不是僅從肉眼就能知道拜登在富爾頓縣的得票數,違背了「班佛定律」呢?

作者製作提供

川粉請先別急著說「對!果然有問題!」。往左邊看到川普的「班佛定律」分析圖,是不是也覺得怪怪的?

洛杉磯才奇怪呢!

看完富爾頓縣的分析圖,不禁懷疑該網友是不是反串川粉,怎麼會拿一個圖出來自打嘴巴。而且,看來這位網友並不清楚「班佛定律」的應用限制。

除了前面提到的 「自然發生、不受限制」以外,「班佛定律」在應用上還有一個致命傷 — — 觀察值建議至少 3000 筆資料以上。富爾頓縣才 384 個投票所,根本不應該使用「班佛定律」才對。(台灣鄉鎮人口數嚴格來說也不應使用,僅適合舉例)

這也是為什麼會出現「想打臉拜登,結果連川普一起打」這種窘境的原因。

既然如此,我改用美國人口最多的加州洛杉磯郡(Los Angeles County)來分析,因為從 官方 公布資料看來,洛杉磯郡有 3383 個投票所,剛好符合「班佛定律」的要求。

先來看看洛杉磯的川普。從下圖可以看到,僅有得票數 1 開頭的投票所數比「班佛定律」少,其餘還算接近。

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那洛杉磯的拜登呢?

下圖絕對會讓川粉沸騰,因為除了首位數 5 以外,其它都背離了「班佛定律」一大截!

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川粉請先別大喊「抓到了齁拜登!」。

這裡有一個 邏輯上的陷阱 ——每個投票所的得票數,真的如台灣鄉鎮人口數一樣,是「自然發生、不受限制」嗎?

無論是美國或台灣,為了分散投票人潮,讓投票與開票更有效率,投票所在設置上會將投票民眾「平均」分散,拉近每個投票所的負荷。這個平均分散的概念, 將每個投票所的投票人數訂了上限 ,因此不可能「自然發生、不受限制」,所以並未滿足「班佛定律」的應用限制。

數字會說話,我們來看洛杉磯各投票所的註冊投票人數。由下圖以及實際註冊資料可以看得出來,3383 個投票所中,為了分散投票人潮,每個投票所大多處理 1000 至 2000 多名左右的民眾。

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既然 投票人數都不自然了,得票數自然也不可能自然。 拜登在洛杉磯郡的支持率約在 40% 至 60% 之間,再考量每個投票所的註冊人數差異不大,因此出現與「班佛定律」背離的狀況,並不意外。

再者,剛剛沒說、川粉可能聽不下去的壞消息是 — — 透過統計值檢驗,川普在洛杉磯郡的得票數, 其實也不符合「班佛定律」

眼睛確實業障重呀!

第一階段初步結論有兩個:

  1. 太小的郡縣,投票所數量不到 3000,無法滿足「班佛定律」的第一個應用限制。
  2. 為了分散投票人潮,每個投票所的投票人數並非「自然發生、不受限制」,違反了「班佛定律」的第二個應用限制。

所以,以上不管是拜登還是川普得票數違反「班佛定律」的立論,基本上都不成立。

既然「班佛定律」無法印證有沒有作票,那它的意義在哪裡?

首先,我們得想辦法滿足「班佛定律」的應用限制,它才能發揮作用。

第一個要解決的問題,是投票所得票數不夠「自然」。如果說「平均後」的得票數不自然,那我們為何不利用「平均前」呢?

什麼是「平均前」?

以洛杉磯郡 3383 個投票所為例,「平均後」是各投票所的得票數,「平均前」則是洛杉磯郡的總得票數。

但這又出現一個問題,一個候選人才一個總得票數,這不是又不符合另一個 3000 筆以上的要求了嗎?

幸好美國幅員廣大,50 州加上哥倫比亞特區,下轄 4600 多個行政區(如洛杉磯郡),只要把範圍擴大到每個次級行政區的總得票數,問題就能迎刃而解。

下圖是川普在全美各行政區的得票數分析,非常貼近「班佛定律」。

作者製作提供

接下來的拜登分析圖,請川粉往下看之前,先深深吸一口氣。

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沒錯,不管是拜登或是川普,全美各行政區的得票數 都符合「班佛定律」

可能有些川粉還是堅持,明明拜登的看起來就比較奇怪。的確,如前面所說,眼睛本身業障重,在判定資料是否符合「班佛定律」時,最嚴謹的方式必須採用卡方檢定或 MAD 來檢驗……

(此處略過一萬字)

而不管川普或拜登的全美得票數,都通過上述統計值的檢驗,確認符合「班佛定律」的。

小小結論

「班佛定律」並不想(也無法)證明選舉過程完全沒有一丁點的作票(川粉說法)或失誤(拜粉認為)。它想要述說的重要結論是,從各行政區現有的得票資料分佈,加上美國特有的選舉人團制,理論上 在此次 2020 美國大選中,並沒有「大規模到足以影響選舉結果」的作票行為 (或失誤)。

身為美國人的班佛先生若「天堂」有知,看到這次祖國大選的混亂狀況,不知會作何感想?

後記

在蒐集全美得票資料時,非常痛苦。不同媒體,得票數居然還有些許的差距;有些州政府已公布詳細數字、有的還沒公布。主要以 NBC 網站為主,輔以 New York Times  及各州政府的選舉網站,已盡個人最大努力減少錯誤。不過,由於選舉結果還有一「丁」點變數,因此最終數字可能與本次分析稍有不同。

(本文經 高智敏 授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題,原文標題為 〈班佛定律能讓川普絕處逢生嗎?〉,首圖來源:Pexels。)

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